EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
Halla lim cuando x→3 de (2x+1)/(x+2).
Repasar: Si el denominador se anula, la división directa deja de decidir ↗
- PISTA 1
Comprobar cuándo se permite el método
El numerador y el denominador son polinomios. Para sustituir en el cociente, primero comprueba que el denominador no se anule en tres.
- PISTA 2
Sustituir en los dos bloques
Escribe por separado el denominador 3+2 y el numerador 2·3+1. El coeficiente dos sigue multiplicando a la entrada.
- PISTA 3
Dividir al terminar
Si la comprobación del denominador ha sido válida, forma el cociente de los dos resultados. Una fracción exacta es una respuesta final válida.
Un desarrollo posible.
Numerador y denominador son polinomios.
Abajo en 3: 3+2=5≠0.
El cociente es continuo y se permite sustituir.
Dividimos: el límite es 7/5.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Halla lim cuando x→−2 de (x²+1)/(x−1).
Repasar: Una entrada negativa se escribe entera entre paréntesis ↗
- PISTA 1
Conservar la entrada negativa
Cada x se convierte en (−2), con paréntesis. En el denominador hay además una resta de uno.
- PISTA 2
Distinguir potencia y signo exterior
En el numerador aparece (−2)²+1. El cuadrado afecta al número negativo completo, antes de sumar la unidad.
- PISTA 3
Revisar el signo del cociente
Calcula numerador y denominador por separado y determina su signo antes de dividir. Conserva la fracción exacta si el decimal es periódico.
Un desarrollo posible.
Usamos paréntesis para la entrada negativa −2.
Abajo: (−2)−1=−3, distinto de cero.
El cociente, y por continuidad el límite, es 5/(−3)=−5/3.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
Halla lim cuando x→0 de (5x−2)/(x²+4).
Repasar: Una fracción o un radical exacto puede ser el resultado final ↗
- PISTA 1
Revisar el denominador en cero
Sustituye cero en x²+4. Que la entrada sea cero no significa que toda la expresión de abajo valga cero.
- PISTA 2
Conservar la constante negativa
En el numerador, 5·0 se anula pero el −2 permanece. Forma el cociente sin perder ese signo.
- PISTA 3
Simplificar sin cambiar el valor
Si numerador y denominador tienen un factor común, divide ambos por ese factor. El signo del cociente debe conservarse.
Un desarrollo posible.
Abajo en cero: 0²+4=4≠0; el método es válido.
Dividimos −2/4 y simplificamos entre 2.
EJERCICIO 4 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 4.
Halla lim cuando x→1 de (2x+3)/(x+4).
Repasar: En un cociente calculamos arriba y abajo por separado ↗
- PISTA 1
Justificar la sustitución
Comprueba el valor de x+4 en uno. Si no es cero, la continuidad de los polinomios permite el cociente de sus valores.
- PISTA 2
Calcular arriba y abajo
Escribe 2·1+3 en el numerador y 1+4 en el denominador. Aunque salgan iguales, sigue habiendo una división entre ellos.
Un desarrollo posible.
Comprobamos el denominador: 1+4=5, no nulo.
Por continuidad del cociente podemos usar su valor en 1.
EJERCICIO 5 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 5.
¿Decide por sí sola la sustitución 0/0 el valor de un límite? Responde sí o no.
Repasar: Cero en el numerador puede ser una respuesta perfectamente válida ↗
- PISTA 1
Volver a la condición del cociente
La sustitución directa en un cociente necesita que el límite del denominador no sea cero. Revisa si esa condición se cumple en 0/0.
- PISTA 2
Separar información insuficiente e inexistencia
Obtener una forma sin valor numérico no prueba que el límite no exista. Puede hacer falta transformar la función o estudiar los laterales.
Un desarrollo posible.
La ley del límite de un cociente requiere denominador con límite no nulo.
En 0/0 esa condición falla y la división no produce un número.
Algunas expresiones con ese resultado al sustituir sí tienen límite tras transformarlas.
Por eso la respuesta es no: la sustitución por sí sola no decide.