Abscisa del mínimo de x²−4x+1.
Anula 2x−4.
La primera derivada de x²−4x+1 es 2x−4.
Al igualarla a cero obtenemos x=2, y la segunda derivada constante 2>0 confirma mínimo.
La abscisa solicitada es 2; además completar el cuadrado muestra que es un mínimo absoluto.
Valor mínimo de x²−4x+1.
Evalúa en x=2.
Por tanto el valor mínimo es −3, que también se obtiene con 4−8+1.
Abscisa de inflexión de x³.
f″=6x cambia signo.
Para f(x)=x³, la segunda derivada es 6x y la función es continua en cero.
La expresión es negativa a la izquierda de cero y positiva a su derecha.
Ese cambio de concavidad produce una inflexión de abscisa 0.
¿f′(0)=0 implica extremo?
Analiza x³.
La igualdad f′(0)=0 es una condición de candidato y no una clasificación completa.
En f(x)=x³ se cumple f′(0)=0, pero f′(x)=3x² es positiva a ambos lados salvo en el propio cero.
La función sigue creciendo y no tiene extremo allí, lo que refuta la implicación propuesta.
Estudia crecimiento de 1/x sin unir a través de cero.
El dominio tiene dos intervalos.
El dominio de 1/x es la unión de (−∞,0) y (0,∞), separados por una entrada excluida.
Su derivada −1/x² es negativa en cada intervalo, así que decrece en cada uno de ellos.
No se puede unir la conclusión atravesando cero: por ejemplo, −1<1 pero f(−1)=−1<f(1)=1, lo que contradice decrecimiento global en toda la unión.