Para y=(2x+1)³, calcula y′(0).
Deriva exterior e interior.
La potencia exterior aporta 3(2x+1)² y la interior 2x+1 tiene derivada 2.
En x=0 vale 6·1²=6; sustituir antes de derivar habría perdido la variación.
Para y=sin(3x), calcula y′(0).
No olvides el factor tres.
En sin(3x), la exterior seno se deriva como cos(3x) y la interior 3x aporta 3.
Para y=e^(2x), calcula y′(0).
La exponencial se multiplica por la derivada de 2x.
La exterior exponencial conserva e^(2x) y la interior 2x tiene derivada 2.
Multiplicar ambas tasas por la regla de la cadena produce la función derivada y′=2e^(2x).
Al evaluar después de derivar, x=0 produce y′(0)=2e⁰=2, que es la pendiente solicitada.
Deriva log(1+x²) y declara dominio.
El argumento es siempre positivo.
Aquí log se interpreta como ln, coherentemente con la derivada natural solicitada.
El resultado es 2x/(1+x²), válido en todo ℝ porque el denominador nunca se anula.
Explica por qué la derivada de cos(x²) lleva signo negativo.
La derivada de cos u es −sin u.
La derivada de la función exterior cos u es −sin u, y de ahí procede el signo negativo.
La interior u=x² aporta el factor 2x y se conserva como argumento del seno.
La cadena produce −sin(x²)·2x=−2x sin(x²); el signo no depende de que x sea positivo o negativo.