EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
¿Cuántas raíces reales distintas tiene x⁴−16=0?
Repasar: Volvemos a x según el signo de cada t ↗
- PISTA 1
Cambiar el bloque, conservando su restricción
Si t=x², entonces x⁴=t² y t debe ser no negativo. Resuelve primero t²−16=0.
- PISTA 2
Filtrar las raíces auxiliares
La ecuación de t da dos signos. Un valor negativo de t no puede ser el cuadrado de un x real; explica por qué lo descartas.
- PISTA 3
Volver a la incógnita original
Cada t positivo que quede produce dos valores opuestos de x. Cuenta los valores de x, no los de t ni el grado del polinomio.
Un desarrollo posible.
Con t=x²≥0, la ecuación x⁴−16=0 se convierte en t²=16 y da t=4 o t=−4.
Solo t=4 es admisible para un cuadrado real y de él se obtiene x=±2.
Hay dos raíces reales distintas; no se cuentan las soluciones complejas de la cuarta potencia.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Halla la raíz positiva de x⁴−10x²+9=0 de mayor valor.
Repasar: Resolvemos la auxiliar con el método cuadrático que convenga ↗
- PISTA 1
Escribir la ecuación auxiliar
Llama t a x². El término x⁴ se convierte en t² y el término −10x² en −10t; la constante no cambia.
- PISTA 2
Factorizar antes de recuperar x
Busca dos números que sumen 10 y multipliquen 9 para escribir la auxiliar como (t−r)(t−s)=0. Comprueba el producto.
- PISTA 3
Volver de cada t a x y seleccionar
Para cada t positivo resuelve x²=t con ambos signos. Se pide la mayor de las raíces positivas de x, no la mayor raíz auxiliar.
Un desarrollo posible.
El cambio t=x² lleva a t²−10t+9=(t−1)(t−9)=0.
Los valores auxiliares positivos 1 y 9 dan x=±1 y x=±3.
Entre las raíces positivas, la de mayor valor es 3.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
¿Cuántas raíces reales tiene x⁴+x²+1=0?
Repasar: Comprobamos usando el puente x²=t ↗
- PISTA 1
Mirar los signos antes de aplicar una fórmula
Para un x real, tanto x² como x⁴ son no negativos. La constante se añade, no se resta.
- PISTA 2
Obtener una cota de toda la expresión
Sustituye cada potencia por su menor valor posible para averiguar si la suma puede llegar a cero. Una suma que siempre es al menos uno no lo alcanza.
- PISTA 3
Responder con una cantidad
La pregunta pide cuántos valores reales funcionan. No se pide sustituir x=0 ni calcular el valor de la expresión en ese punto.
Un desarrollo posible.
Para cualquier x real se cumple x⁴≥0 y x²≥0.
Por ello x⁴+x²+1≥1 y nunca puede igualarse a cero.
La cantidad de raíces reales es 0, sin necesidad de resolver la auxiliar.
EJERCICIO 4 / 5Respuesta con varios valores
Tu reto 4.
Halla el conjunto de raíces reales de x⁴−4x²=0.
Repasar: Si un coeficiente desaparece, simplificamos antes de aplicar fórmulas ↗
- PISTA 1
Conservar el factor que puede anularse
Extrae x² como factor común en lugar de dividir toda la ecuación por él. Así mantienes el caso x=0.
- PISTA 2
Resolver las dos ramas
La primera exige x²=0. La segunda exige x²−4=0, que puedes resolver como diferencia de cuadrados.
- PISTA 3
Unir sin duplicar
Reúne los valores obtenidos. La raíz cero puede repetirse como factor, pero se escribe una sola vez en el conjunto solución.
Un desarrollo posible.
Extraemos factor común y obtenemos x²(x²−4)=0.
El primer factor da x=0 y el segundo da x=−2 o x=2.
El conjunto de valores reales distintos es {−2,0,2}; cero no se elimina al factorizar.
EJERCICIO 5 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 5.
Con el cambio t=x², si la auxiliar da t=0, ¿cuántos valores reales distintos de x se obtienen?
Repasar: Volvemos a x según el signo de cada t ↗
- PISTA 1
Recordar el cambio de variable
En esta lección t significa x². El dato t=0 se traduce como una ecuación para el cuadrado de x.
- PISTA 2
Examinar si los signos dan números distintos
Al resolver x²=0, los símbolos +0 y −0 nombran el mismo número. Cuenta valores diferentes de x, no elecciones de signo escritas.
Un desarrollo posible.
Una raíz auxiliar t=0 impone la ecuación x²=0.
El único número real cuyo cuadrado es cero es x=0.
Los símbolos +0 y −0 representan el mismo valor, por lo que produce una solución distinta.