EJERCICIO 1 / 5 Respuesta comprobable
Tu reto 1. Resuelve 4ˣ=8.
Repasar: Creamos una base común conservando todos los exponentes ↗
PISTA 1 Relacionar las dos bases mediante una tercera Tanto cuatro como ocho son potencias de dos. Escribe cada una sin aproximaciones.
PISTA 2 Conservar el exponente exterior El miembro izquierdo pasa a (2²)ˣ=2^(2x). Al compararlo con la potencia de la derecha se determina el bloque 2x.
PISTA 3 Recuperar x y mantener la fracción Despeja dividiendo ambos miembros por el coeficiente del bloque. Usa una raíz cuadrada para interpretar un exponente con denominador dos y comprueba que la potencia vuelva a ocho; conserva la fracción exacta.
Ver la siguiente pista Me rindo: ver solución Nuevo intento
Un desarrollo posible. Escribimos 4=2² y 8=2³ para obtener una misma base positiva.
La ecuación (2²)ˣ=2³ se convierte en 2^(2x)=2³ y, por inyectividad, en 2x=3.
Al dividir entre dos resulta x=3/2; la comprobación 4^(3/2)=8 confirma la solución.
He comparado y revisado mis pasos ✓ EJERCICIO 2 / 5 Respuesta comprobable
Tu reto 2. Resuelve 3^(x+2)=1/9.
Repasar: Creamos una base común conservando todos los exponentes ↗
PISTA 1 Expresar el recíproco como potencia Nueve es 3². Su recíproco tiene la misma base y exponente negativo.
PISTA 2 Igualar exponentes completos Compara x+2 con el exponente que representa 1/9. La suma de dos sigue formando parte del exponente de la izquierda.
PISTA 3 Deshacer el desplazamiento y verificar Resta dos en ambos miembros. Al sustituir la entrada, el exponente original debe recuperar el de 1/9.
Ver la siguiente pista Me rindo: ver solución Nuevo intento
Un desarrollo posible. El recíproco 1/9 equivale a 3⁻².
Con bases iguales, 3^(x+2)=3⁻² exige x+2=−2.
Restamos dos y obtenemos x=−4, que deja exponente −2 en la ecuación inicial.
He comparado y revisado mis pasos ✓ EJERCICIO 3 / 5 Respuesta comprobable
Tu reto 3. Resuelve 5^(2x)=125.
Repasar: Identificamos qué número buscamos antes de aplicar una regla ↗
PISTA 1 Reconocer una potencia exacta de cinco Busca cuántos factores cinco se multiplican para obtener 125. Ese número es el exponente de la derecha.
PISTA 2 Igualar el bloque del exponente Con la misma base válida, 2x debe coincidir con ese exponente. Aún no has encontrado x por separado.
PISTA 3 Dividir y comprobar Deshaz el factor dos de la incógnita. Al volver a 5^(2x), el producto 2x debe dar el exponente reconocido.
Ver la siguiente pista Me rindo: ver solución Nuevo intento
Un desarrollo posible. La constante 125 es 5³, así que se igualan dos potencias de base 5.
La inyectividad de esa exponencial convierte la ecuación en 2x=3.
La solución es x=3/2, y al sustituir el exponente vuelve a ser tres.
He comparado y revisado mis pasos ✓ EJERCICIO 4 / 5 Respuesta comprobable
Tu reto 4. ¿Cuántas soluciones reales tiene 2ˣ=−1?
Repasar: Si la constante es positiva, un logaritmo permite hallar el exponente ↗
PISTA 1 Examinar las salidas de una exponencial Con base positiva, 2ˣ es estrictamente positiva para cualquier x real. Esto incluye exponentes negativos.
PISTA 2 Comparar con la constante Un exponente negativo da un recíproco positivo, no una potencia negativa. Decide si −1 está entre las salidas posibles.
PISTA 3 Escribir la cantidad pedida La pregunta pide cuántas entradas funcionan. No se pide copiar la constante ni proponer un exponente que cambie el signo.
Ver la siguiente pista Me rindo: ver solución Nuevo intento
Un desarrollo posible. Para cualquier real x, la exponencial 2ˣ es estrictamente positiva.
El miembro derecho −1 es negativo y no pertenece al conjunto de valores de esa función.
No hay soluciones reales y la cantidad pedida es 0.
He comparado y revisado mis pasos ✓ EJERCICIO 5 / 5 Respuesta comprobable
Tu reto 5. Resuelve (1/2)ˣ=8.
Repasar: Identificamos qué número buscamos antes de aplicar una regla ↗
PISTA 1 Reescribir la base fraccionaria La base 1/2 equivale a 2⁻¹. Elevarla a x produce 2^(−x), porque los exponentes se multiplican.
PISTA 2 Comparar con una potencia de dos Escribe ocho como 2³ e iguala el bloque −x a tres. Conserva el signo que acompaña a x al despejar.
PISTA 3 Comprobar usando el recíproco Un exponente negativo invierte la base 1/2 antes de elevarla. Revisa que el resultado sea ocho y no su recíproco.
Ver la siguiente pista Me rindo: ver solución Nuevo intento
Un desarrollo posible. La base 1/2 es 2⁻¹, por lo que (1/2)ˣ=2⁻ˣ.
Como 8=2³, la igualdad implica −x=3.
Obtenemos x=−3 y comprobamos (1/2)⁻³=2³=8.
He comparado y revisado mis pasos ✓