EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
Halla la raíz positiva de x²−25=0.
Repasar: Los casos incompletos muestran por qué puede haber dos soluciones ↗
- PISTA 1
Distinguir una ecuación de una raíz principal
Se busca un valor de x, no el resultado de calcular solo √25. Primero deja x² aislado haciendo la misma operación en ambos miembros.
- PISTA 2
Conservar las dos posibilidades
Un número positivo y su opuesto tienen el mismo cuadrado. Busca ambos valores cuyo producto consigo mismos sea 25.
- PISTA 3
Responder a la selección pedida
Después de encontrar las dos raíces, elige la que sea mayor que cero. Compruébala sustituyendo en x²−25, no cambiando el signo del término constante.
Un desarrollo posible.
La ecuación x²−25=0 equivale a x²=25.
Los reales de cuadrado 25 son 5 y −5, porque ambas potencias dan 25.
La raíz positiva solicitada es 5; no se omite la otra al describir primero el conjunto completo.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Halla la raíz mayor de x²−7x+12=0.
Repasar: Una factorización convierte el producto nulo en alternativas ↗
- PISTA 1
Buscar una factorización verificable
Para escribir (x−r)(x−s), los valores r y s deben sumar 7 y multiplicar 12. Puedes comprobar las parejas de factores positivos de 12.
- PISTA 2
Convertir el producto cero en alternativas
Una vez comprobado el producto al desarrollar, iguala cada factor a cero por separado. El signo que aparece dentro de x−r no es el signo de la raíz r.
- PISTA 3
Comparar las raíces obtenidas
Obtendrás dos valores distintos de x. Elige el mayor y sustitúyelo en los tres términos de la ecuación inicial.
Un desarrollo posible.
Buscamos dos números de suma −7 y producto 12: −3 y −4.
La ecuación factoriza como (x−3)(x−4)=0, con raíces 3 y 4.
La mayor es 4; sustituir 16−28+12=0 la verifica.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
Calcula el discriminante de 2x²+3x+2=0.
Repasar: El discriminante nos dice cuántas raíces reales habrá ↗
- PISTA 1
Identificar qué número se pide
No hace falta hallar x. El discriminante es Δ=b²−4ac, usando los coeficientes de la ecuación ordenada con cero en el otro miembro.
- PISTA 2
Sustituir antes de operar
Aquí a=2, b=3 y c=2. Escribe 3²−4·2·2; el cuadrado afecta a b y la multiplicación completa se resta después.
- PISTA 3
Revisar el signo de la resta
Calcula por separado 3² y 4·2·2. Si el segundo bloque es mayor, el discriminante resulta negativo; ese signo también informa sobre las raíces reales.
Un desarrollo posible.
En 2x²+3x+2=0 los coeficientes son a=2, b=3 y c=2.
Sustituimos los coeficientes en la definición y calculamos cada producto: Δ=3²−4·2·2=9−16=−7.
El discriminante pedido es −7, cuyo signo también indica ausencia de raíces reales.
EJERCICIO 4 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 4.
¿Cuántas raíces reales tiene x²+4=0?
Repasar: El discriminante nos dice cuántas raíces reales habrá ↗
- PISTA 1
Leer el conjunto numérico
La palabra reales es una condición. Para cualquier x real, su cuadrado es no negativo.
- PISTA 2
Aislar el cuadrado y comparar signos
Resta cuatro en ambos miembros. Decide si un cuadrado real puede tener el signo del valor que queda a la derecha.
- PISTA 3
Distinguir una raíz de una cantidad de raíces
Se pide cuántos valores cumplen la ecuación. Si ninguno puede cumplirla, escribe la cantidad correspondiente, no una raíz de otra ecuación.
Un desarrollo posible.
Reorganizamos x²+4=0 como x²=−4.
Todo cuadrado real es no negativo, por lo que no puede igualar −4.
Hay 0 raíces reales; no se está preguntando por soluciones complejas.
EJERCICIO 5 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 5.
Halla la raíz doble de x²−6x+9=0.
Repasar: Raíz doble no significa dos números distintos ↗
- PISTA 1
Reconocer el término central
Compara con (x−r)²=x²−2rx+r². El número r debe hacer coincidir a la vez −6x y la constante 9.
- PISTA 2
Anular la base del cuadrado
Cuando escribas el trinomio como un cuadrado, este vale cero solo si la expresión de su base vale cero. Despeja esa ecuación lineal.
- PISTA 3
Contar valores y repeticiones por separado
Doble describe que el factor se repite dos veces. No pide duplicar numéricamente el valor de x. Sustituye la raíz en la ecuación inicial.
Un desarrollo posible.
El trinomio x²−6x+9 coincide con (x−3)² porque −2·x·3=−6x.
Su cuadrado es cero solo cuando x−3=0.
La raíz es x=3 y es doble; sustituir 9−18+9=0 la confirma.