EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
Dos copias de razón 1/4: calcula s.
- PISTA 1
Una pista
2·4⁻ˢ=1.
Un desarrollo posible.
- Hay N=2 y razón lineal r=1/4.
- 2·4⁻ˢ=1 equivale a4ˢ=2.
- Como4^(1/2)=2, el exponente de semejanza es s=1/2.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Ocho copias de razón 1/2: calcula s.
- PISTA 1
Una pista
2ˢ=8.
Un desarrollo posible.
- N=8 y r=1/2 dan8·2⁻ˢ=1.
- Por tanto2ˢ=8=2³ y s=3.
Es un exponente de semejanza; para realizarlo con separación en un espacio euclídeo hace falta dimensión ambiente al menos3.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
Tres copias de razón 1/2: escribe s como cociente de logaritmos.
- PISTA 1
Una pista
Usa log N/log(1/r).
Un desarrollo posible.
- Para N=3 y r=1/2 planteamos3·2⁻ˢ=1.
- Esto equivale a2ˢ=3 y, al tomar logaritmos, s ln2=ln3.
- Así s=ln3/ln2.
Identificarlo con Hausdorff requiere la separación apropiada.
EJERCICIO 4 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 4.
¿Se usa razón de longitudes o de áreas en Nrˢ=1? Escribe longitudes o áreas.
- PISTA 1
Una pista
r es la contracción de la similitud.
Un desarrollo posible.
La similitud multiplica cada distancia por r.
En el plano, las áreas se multiplican por r², una cantidad diferente.
- Por tanto en Nrˢ=1 se usa la razón de longitudes.
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Explica por qué hacen falta condiciones de separación para identificar s con dimensión de Hausdorff.
- PISTA 1
Una pista
Considera dos similitudes que tengan exactamente la misma imagen.
Un desarrollo posible.
- Repetimos dos veces exactamente la similitud S(x)=x/2.
El sistema tiene atractor{0}, pero el conteo formal de dos copias da s=1.
La dimensión de Hausdorff del punto es0: el conteo duplicó la misma pieza.
La condición de conjunto abierto impide ese tipo de solapamiento y permite el teorema de igualdad de dimensiones.