EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
f(x)=x+2, g(x)=3x. Halla (f∘g)(4).
Repasar: En f compuesto con g, primero actúa g ↗
- PISTA 1
Leer la función más cercana a la entrada
En f(g(4)), primero se aplica g a cuatro. Después se entrega ese resultado completo a f.
- PISTA 2
Escribir las dos operaciones en orden
La primera etapa multiplica por tres; la segunda suma dos. No multipliques por tres el término que se añade después.
- PISTA 3
Distinguir el resultado intermedio
Anota por separado g(4) y f(g(4)). La respuesta final es la salida de la segunda etapa.
Un desarrollo posible.
La composición f∘g aplica primero g a la entrada 4.
g(4)=3·4=12 y después f(12)=12+2=14.
El resultado es 14; invertir el orden daría otro cálculo y no respondería a la notación dada.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
f(x)=2x−5. Halla f⁻¹(9).
Repasar: Para deshacer, cada salida debe identificar una única entrada ↗
- PISTA 1
Interpretar la entrada de la inversa
Nueve es una salida de la función original. Busca qué entrada x cumple f(x)=9.
- PISTA 2
Plantear y deshacer las operaciones
Escribe 2x−5=9. Primero deshaz la resta de cinco y después la multiplicación por dos.
- PISTA 3
Comprobar con la función original
La entrada recuperada debe producir nueve al introducirla en 2x−5. No se pide f(9).
Un desarrollo posible.
Para invertir la salida 9 resolvemos 2x−5=9.
Sumar cinco y dividir entre dos produce 2x=14 y x=7.
Así f⁻¹(9)=7; f(7)=14−5=9 comprueba la recuperación.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
¿Es x² inyectiva en todo R?
Repasar: Para deshacer, cada salida debe identificar una única entrada ↗
- PISTA 1
Revisar qué significa inyectiva
No deben existir dos entradas distintas del dominio con la misma salida.
- PISTA 2
Comparar entradas opuestas
Compara el cuadrado de uno y el de menos uno. Las dos entradas son reales y diferentes; decide qué ocurre con sus salidas.
Un desarrollo posible.
Una función inyectiva no permite dos entradas distintas con la misma salida.
En x² sobre R, las entradas 1 y −1 dan ambas 1.
La respuesta es no; restringir el dominio a una semirrecta podría cambiar esa propiedad.
EJERCICIO 4 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 4.
Para f(x)=ln x y g(x)=x−3, ¿qué extremo inferior excluido tiene el dominio de f∘g?
Repasar: El dominio de una composición pasa dos filtros ↗
- PISTA 1
Identificar qué recibe el logaritmo
La composición es ln(x−3). El argumento completo, no solo x, debe ser positivo.
- PISTA 2
Mantener la desigualdad estricta
Escribe x−3>0 y despeja. El cero del argumento no pertenece al dominio de ln.
- PISTA 3
Responder solo a la frontera solicitada
Se pide el valor del extremo inferior excluido, no escribir todo el intervalo. Comprueba que allí el argumento se hace cero.
Un desarrollo posible.
La composición es ln(x−3). La primera etapa g existe en todo R, pero su salida debe ser positiva para aplicar ln.
La condición es x−3>0, es decir, x>3.
El dominio es (3,∞) y su extremo inferior excluido es 3.
EJERCICIO 5 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 5.
Halla la inversa de x² restringida a x≥0, evaluada en 49.
Repasar: Construimos una inversa despejando y conservando la rama ↗
- PISTA 1
Usar la restricción original
La función original solo recibe entradas no negativas. La inversa debe devolver una entrada de ese mismo conjunto.
- PISTA 2
Buscar la entrada que tiene cuadrado 49
Resuelve x²=49 y selecciona únicamente la candidata que cumple el dominio original.
- PISTA 3
Comprobar las dos condiciones
Tu respuesta debe ser no negativa y su cuadrado debe devolver cuarenta y nueve. No se solicita el cuadrado de la salida dada.
Un desarrollo posible.
La función x² restringida a x≥0 es inyectiva y su imagen es [0,∞).
Su inversa es la raíz cuadrada principal, por lo que en la entrada 49 produce √49.
El resultado es 7; el signo positivo viene de la restricción original, y 7²=49 verifica la inversa.