EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
Calcula Γ(4).
- PISTA 1
Una pista
Γ(n)=(n−1)! para n entero positivo.
Un desarrollo posible.
- Para entero positivo n,Γ(n)=(n−1)!.
- Con n=4 obtenemosΓ(4)=3!.
- 3·2·1=6.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Calcula Γ(2).
- PISTA 1
Una pista
Usa la recurrencia desde Γ(1)=1.
Un desarrollo posible.
- Partimos deΓ(1)=1.
- La recurrenciaΓ(x+1)=xΓ(x) con x=1 daΓ(2)=1Γ(1).
- Por tantoΓ(2)=1.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
Calcula B(1,2).
- PISTA 1
Una pista
La integral es ∫₀¹(1−t)dt.
Un desarrollo posible.
- B(1,2)=∫₀¹t⁰(1−t)¹dt=∫₀¹(1−t)dt.
Una primitiva es t−t²/2.
- Evaluar de0 a1 da1−1/2=1/2.
EJERCICIO 4 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 4.
Calcula B(2,2).
- PISTA 1
Una pista
Integra t(1−t) o usa gamma.
Un desarrollo posible.
- La identidad beta-gamma da B(2,2)=Γ(2)Γ(2)/Γ(4).
- Los valores sonΓ(2)=1 yΓ(4)=6.
- Así B(2,2)=1·1/6=1/6.
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Deriva Γ(x+1)=xΓ(x) para x>0.
- PISTA 1
Una pista
Integra tˣe⁻ᵗ por partes.
Un desarrollo posible.
- Para x>0,Γ(x+1)=∫₀∞tˣe⁻ᵗdt.
Integramos por partes con u=tˣ ydv=e⁻ᵗdt, de modo que du=xt^(x−1)dt yv=−e⁻ᵗ.
El borde−tˣe⁻ᵗ se anula en cero porque x>0 y en infinito por el decaimiento exponencial.
- Queda x∫₀∞t^(x−1)e⁻ᵗdt=xΓ(x), demostrando la recurrencia en ese dominio.