Prueba dos entradas reales distintas y opuestas. Si comparten cuadrado, la inversión no sabría cuál devolver.
PISTA 2
Comprobar también el conjunto de llegada
El codominio declarado es ℝ. Pregunta si una salida negativa puede ser el cuadrado de algún real.
PISTA 3
Separar los fallos y una posible reparación
Explica unicidad y existencia por separado. Para definir una inversa de una rama hace falta restringir entradas y usar el recorrido apropiado como destino.
Un desarrollo posible.
Para x²:ℝ→ℝ, las entradas distintas 1 y −1 dan ambas salida 1, así que falta inyectividad.
También falta sobreyectividad al codominio ℝ, porque ningún cuadrado real es negativo.
Por esas dos razones no tiene inversa como función ℝ→ℝ; haría falta restringir dominio y ajustar codominio.
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Distingue la inversa de f(x)=2x del recíproco de f.
La inversa recupera una entrada a partir de una salida. El recíproco toma uno dividido entre la salida original.
PISTA 2
Escribir ambas reglas con sus dominios
Para invertir, despeja x en y=2x. Para el recíproco, escribe 1/(2x) y revisa qué entrada anula el denominador.
PISTA 3
Comprobar qué deshace cada una
La composición con la inversa debe recuperar la entrada. El producto por el recíproco vale uno donde ambos factores están definidos; son comprobaciones distintas.
Un desarrollo posible.
Para deshacer f(x)=2x, resolvemos y=2x y obtenemos x=y/2, de modo que f⁻¹(x)=x/2 en ℝ.
El recíproco toma uno dividido entre el valor de f y es 1/f(x)=1/(2x), definido solo para x≠0.
La inversa deshace una composición y el recíproco un producto numérico; sus fórmulas y dominios son distintos.