¿Cuál es z para t=3 en X=(0,1,2)+t(1,2,−1)?
Usa la tercera coordenada.
Sustituimos el parámetro común t=3 en la tercera coordenada: z=2−3=−1, que es la altura solicitada.
Se pide solo esa coordenada; el punto completo usaría el mismo t en las tres componentes.
Halla D para que x+2y−z+D=0 pase por (1,1,4).
Sustituye el punto.
Introducir las coordenadas del punto en el plano da 1+2·1−4+D=0; al reunir los términos conocidos queda −1+D=0.
¿Pertenece (2,3,5) al plano x+y−z=0?
Evalúa el miembro izquierdo.
La pertenencia al plano se verifica sustituyendo todas las coordenadas.
Evaluamos la expresión del plano con las tres coordenadas del punto: x+y−z=2+3−5=0, igual al término independiente.
La respuesta es sí: el punto satisface exactamente la ecuación del plano.
Halla la tercera componente de una normal al plano 2x−y+4z=7. Usa (2,−1,k).
Lee coeficientes.
Los coeficientes de x,y,z forman una normal de la ecuación general.
Comparar con (2,−1,k) da k=4; el término 7 fija posición y no es componente de la normal.
¿Determinan tres puntos alineados un único plano?
Pasan varios planos por una recta.
Tres puntos alineados solo aportan una dirección independiente.
Infinitos planos pueden girar alrededor de la recta que los contiene y seguir pasando por los tres.
La respuesta es no: hace falta que no estén alineados para determinar un plano único.