Intervalo [0,1] con h=1/4: ¿cuántos nodos interiores?
Hay cinco nodos incluyendo extremos.
Hay5 nodos totales: 0,1/4,1/2,3/4,1.
Al excluir las dos fronteras quedan3 nodos interiores.
Valores vecinos 1,2,5 y h=1: ¿segunda diferencia en el centro?
Usa izquierda−2centro+derecha.
La segunda diferencia es(izquierda−2·centro+derecha)/h².
Con los datos resulta(1−2·2+5)/1².
En −u″=4 con un nodo central, h=1/2 y frontera cero, calcula u₁.
8u₁=4.
Solo hay una incógnita central y las dos fronteras son cero.
Si h se reduce de 0,2 a 0,1, ¿por qué factor se reduce aproximadamente un error de orden h²?
Cociente de cuadrados.
El cociente de pasos es 1/2 y su cuadrado es 1/4.
El nuevo error es aproximadamente0,25 veces el antiguo: se reduce a la cuarta parte.
Deriva la segunda diferencia centrada con expansiones de Taylor.
Suma u(x+h) y u(x−h).
Sumamos: se cancelan los términos impares y queda u(x+h)+u(x−h)−2u(x)=h²u″(x)+O(h⁴).
Dividir por h² da la segunda diferencia y un error O(h²); la estimación exige controlar las derivadas del resto.