xₖ₊₁=0,25xₖ+3. ¿Punto fijo?
Resuelve x−0,25x=3.
x=4; además|0,25|<1 garantiza convergencia desde cualquier inicio real.
Jacobi para 5x=10 desde x₀=0: ¿x₁?
Divide por la diagonal.
El sistema escalar tiene diagonal5 y segundo miembro10.
Jacobi divide el segundo miembro por la diagonal, sin términos fuera de ella.
B=diag(0,2;0,7), es decir, entradas diagonales 0,2 y 0,7. ¿Radio espectral?
Mayor módulo de autovalores.
En una matriz diagonal, sus entradas diagonales son los autovalores.
Sus módulos son 0,2 y0,7.
El radio espectral es el máximo,0,7.
¿B con radio espectral 1,2 garantiza convergencia desde todo inicio? Sí o no.
El criterio exige <1.
La convergencia de una iteración estacionaria desde cualquier inicio requiere ρ(B)<1.
Con ρ(B)=1,2 hay un autovalor cuyo módulo supera uno y los errores en la dirección correspondiente pueden crecer.
La respuesta es no; un inicio especial podría comportarse de otra forma, pero no hay convergencia para todos.
Explica qué debe conseguir un precondicionador útil.
Compara calidad de aproximación y coste de resolver con él.
Debe producir un sistema equivalente que el método elegido resuelva con menos esfuerzo total.
Se revisan las propiedades que el método necesita, el coste de preparación y el de resolver con M, además de su memoria.
Una aproximación muy precisa a A no ayuda si aplicarla cuesta tanto como resolver el sistema original.