Con N=8 muestras, ¿cuántos coeficientes tiene la DFT?
La transformación conserva la dimensión.
N designa la longitud del bloque y de su DFT.
El índice k recorre desde cero hasta N−1; con N=8 son 0,1,2,3,4,5,6,7.
Contamos ocho índices, así que hay 8 coeficientes aunque algunos puedan ser cero.
Para x=[2,5], calcula X[0].
Es la suma.
En k=0, el factor exponencial vale uno para cada muestra.
Obtenemos X[0]=7; es la suma, mientras que la media sería 7/2.
Para x=[2,5], calcula X[1].
Para N=2 la segunda raíz es −1.
La cuenta 2−5=−3 da el coeficiente buscado; el signo negativo es parte del resultado.
fₛ=800 Hz, N=100. ¿Separación entre índices en Hz?
Divide fₛ entre N.
El resultado es 8 Hz por intervalo entre índices; no afirma por sí solo que todo par de tonos separados 8 Hz sea resoluble.
Explica la diferencia entre DFT y FFT.
Una define el resultado, la otra organiza el cálculo.
La DFT define un vector de coeficientes mediante una suma finita y una normalización.
La FFT organiza esa misma suma reutilizando subproblemas, por ejemplo los bloques pares e impares.
En aritmética exacta ambas vías dan la misma DFT; el ahorro afecta al coste de cálculo, y en coma flotante pueden diferir pequeños redondeos.