Gradiente para f=x² desde x₀=2 con α=0,1: calcula x₁.
PISTA 1
Una pista
Resta 0,1 por f′(2).
Un desarrollo posible.
La derivada es 2x, así que en 2 vale 4.
El desplazamiento es−0,1·4=−0,4.
x₁=2−0,4=1,6.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Para f=(x−1)², ¿cuál es la Hessiana escalar?
PISTA 1
Una pista
Segunda derivada.
Un desarrollo posible.
Derivamos f=(x−1)² una vez: f′=2(x−1).
La segunda derivada es constante.
La Hessiana escalar vale 2.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
Para f=x², el factor con α=1 es 1−2α. ¿Cuánto vale?
PISTA 1
Una pista
Sustituye α=1.
Un desarrollo posible.
El factor es 1−2α.
Con α=1 resulta−1.
Salvo comenzar en cero, la iteración alterna signo con la misma magnitud y no se acerca al mínimo.
EJERCICIO 4 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 4.
Newton para f=2x²−8x desde x₀=0: calcula x₁.
PISTA 1
Una pista
f′=4x−8 y f″=4.
Un desarrollo posible.
f′(x)=4x−8 y f″(x)=4.
En 0, el gradiente es−8.
El paso Newton satisface4p=8, así que p=2.
Con paso completo, x₁=2.
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Explica por qué −∇f es descenso cuando ∇f≠0.
PISTA 1
Una pista
Calcula la derivada direccional.
Un desarrollo posible.
Por diferenciabilidad, la derivada direccional en p=−∇f es∇fᵀp.
Esto vale−‖∇f‖²<0 cuando el gradiente no es cero.
La expansión de primer orden implica reducción para α>0 suficientemente pequeño, dentro del dominio; no garantiza reducción para una longitud arbitraria.