¿En qué x minimiza (x+2)²?
Un cuadrado es mínimo cuando su interior vale cero.
El cuadrado(x+2)² tiene cota inferior cero.
Segunda derivada de 3x²+1.
Deriva dos veces.
La primera derivada de 3x²+1 es 6x.
La segunda es 6.
Es positiva en toda R y certifica estricta convexidad en este caso.
¿Es convexo el intervalo [0,1]? Responde sí o no.
Un segmento entre dos puntos del intervalo permanece dentro.
Contiene todo segmento entre dos puntos propios.
La respuesta es sí: el intervalo es convexo.
¿Todo mínimo local de una función convexa sobre un conjunto convexo es global? Sí o no.
Usa un segmento hacia un supuesto punto mejor.
Supongamos un mínimo local y un punto factible mejor.
La convexidad del conjunto conserva el segmento y la de la función produce puntos mejores arbitrariamente próximos al mínimo local.
Eso es una contradicción, así que la respuesta es sí.
Da una función convexa sin mínimo alcanzado y justifícala.
Puedes estudiar una exponencial en toda la recta.
Su segunda derivada es exp(x)>0, así que es convexa.
Sus valores son siempre positivos y tienden a cero cuando x→−∞.
El ínfimo es cero, pero no hay punto real que lo alcance; no existe minimizador.