Índice de 4Z en Z.
Cuenta restos posibles.
El índice cuenta clases laterales de 4Z en Z.
Cada entero tiene uno de los restos 0,1,2,3 al dividir entre cuatro.
Esas cuatro clases son distintas y cubren Z; el índice es 4.
Un homomorfismo de grupo finito de orden 24 tiene núcleo de orden 6. Tamaño de la imagen.
Usa el primer isomorfismo.
El primer isomorfismo identifica la imagen con el cociente por el núcleo.
Para un grupo finito, el cociente tiene |G|/|kerφ| elementos.
Núcleo del homomorfismo identidad de un grupo: número de elementos.
Solo el neutro se envía al neutro.
Enviar un elemento al neutro exige que ese propio elemento sea el neutro.
El núcleo es {e} y tiene 1 elemento.
Prueba que un homomorfismo es inyectivo si y solo si su núcleo es trivial.
Transforma φ(a)=φ(b) en una igualdad con el neutro.
Si kerφ={e} y φ(a)=φ(b), entonces φ(b⁻¹a)=e, de modo que b⁻¹a=e y a=b; así φ es inyectiva.
El núcleo es trivial y queda probada la equivalencia.
¿Todo subgrupo de un grupo abeliano es normal?
Compara conjugados.
Sea N un subgrupo de un grupo abeliano G.
Por tanto gNg⁻¹=N para todo g, exactamente la normalidad.