EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
Orden de Gal(Q(i)/Q).
- PISTA 1
Una pista
i puede enviarse a i o −i.
Un desarrollo posible.
Q(i) es el cuerpo de descomposición de x²+1 sobre Q y sus raíces i,−i son distintas.
Todo automorfismo envía i a i o −i. Ambas opciones existen: identidad y conjugación compleja restringida al cuerpo.
El grupo tiene dos elementos.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Grado de L/K si es finita de Galois y su grupo tiene seis elementos.
- PISTA 1
Una pista
Usa la igualdad fundamental.
Un desarrollo posible.
La extensión se supone finita de Galois, así cumple normalidad y separabilidad.
El teorema fundamental da [L:K]=|Gal(L/K)|.
Como el grupo tiene seis elementos, el grado es seis.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
Grado [L:Lᴴ] si L/K es finita de Galois y |H|=4.
- PISTA 1
Una pista
Aplica la correspondencia.
Un desarrollo posible.
H es un subgrupo del grupo de la extensión finita de Galois.
La correspondencia asocia su cuerpo fijo Lᴴ y la fórmula [L:Lᴴ]=|H|.
Con |H|=4 obtenemos grado cuatro; no se está pidiendo [Lᴴ:K].
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
Halla el cuerpo fijo de la conjugación en Q(i).
- PISTA 1
Una pista
Escribe a+bi con a,b racionales.
Un desarrollo posible.
Un elemento de Q(i) tiene escritura única a+bi con a,b∈Q.
La conjugación lo fija si a−bi=a+bi, equivalente a 2bi=0.
Como trabajamos en característica cero e i≠0, b=0.
Quedan exactamente los racionales y el cuerpo fijo es Q.
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Explica por qué una extensión de grado tres no puede contener una subextensión de grado dos.
- PISTA 1
Una pista
Aplica la ley de la torre.
Un desarrollo posible.
Supongamos K⊂M⊂L con [L:K]=3 y [M:K]=2.
La ley de la torre exigiría 3=[L:M]·2.
El grado [L:M] debe ser un entero positivo, pero 3/2 no lo es. Tal subextensión no existe; no se necesita suponer Galois.