Multiplicamos A por el vector dado: diag(2,5)(0,1)ᵀ=(0,5)ᵀ.
Ese resultado es 5(0,1)ᵀ.
El vector es no nulo y cumple la ecuación propia con λ=5.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Suma de autovalores de [[2,1],[0,4]].
PISTA 1
Una pista
Coincide con la traza.
Un desarrollo posible.
La matriz triangular tiene autovalores en la diagonal: dos y cuatro.
Sumamos 2+4=6.
También coincide con la traza 2+4, que sirve de comprobación.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
Dimensión del espacio propio de la identidad 3×3 para λ=1.
PISTA 1
Una pista
Todo vector satisface Iv=v.
Un desarrollo posible.
La identidad satisface Iv=v para todo vector de R³.
Por tanto el espacio propio de λ=1 es todo R³, incluido cero.
Su dimensión es 3; cero pertenece al espacio propio aunque no sea autovector.
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
Prueba que autovectores de dos autovalores distintos son independientes.
PISTA 1
Una pista
Supón que uno es múltiplo no nulo del otro.
Un desarrollo posible.
Sean v,w no nulos con Av=λv, Aw=μw y λ≠μ.
Si fueran dependientes, w=cv para algún escalar c no nulo.
Entonces Aw=cAv=cλv=λw, pero también Aw=μw.
Así (λ−μ)w=0, imposible porque el escalar es no nulo y w tampoco. Son independientes.
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Calcula Aⁿ si A=PDP⁻¹.
PISTA 1
Una pista
Multiplica y cancela los factores intermedios.
Un desarrollo posible.
Para n=0, A⁰=I=PI P⁻¹.
Para n=1 la fórmula es la dada.
Al multiplicar dos factores, A²=PD(P⁻¹P)DP⁻¹=PD²P⁻¹.
Repetir el argumento o usar inducción da Aⁿ=PDⁿP⁻¹ para enteros n≥0; Dⁿ eleva cada entrada diagonal. Para potencias negativas hace falta que A sea invertible.