Norma euclídea de diag(2,5).
Máximo de valores absolutos diagonales.
Esto da norma del operador como máximo5.
En e₂=(0,1) se alcanza una imagen de norma5; por tanto la norma es5.
Norma inversa de 4I.
La inversa es I/4.
El operador4I es biyectivo y su inversa es I/4.
En cualquier vector unitario se alcanza1/4, de modo que‖(4I)⁻¹‖=1/4.
Una familia Tₙ=I/n tiene supremo de normas para n≥1 igual a cuánto.
El mayor 1/n es el primero.
En un espacio no nulo,‖Tₙ‖=1/n porque existen vectores unitarios.
Explica qué hipótesis permite pasar de biyectividad a inversa continua.
No basta linealidad en espacios arbitrarios.
Se requiere que T sea una biyección lineal continua entre dos espacios de Banach.
La sobreyectividad permite aplicar el teorema de la aplicación abierta.
Como T es biyectivo, la imagen por T de un abierto es la preimagen de ese abierto bajo T⁻¹.
Esto demuestra la continuidad de la inversa; la biyectividad algebraica sola no basta en dimensión infinita.
¿El gráfico cerrado prueba acotación de un operador definido solo en un subespacio denso no completo?
Revisa el dominio completo del teorema.
El teorema exige un operador lineal definido en todo un dominio Banach, con codominio Banach.
Un subespacio denso propio con la norma heredada puede ser incompleto.
Que el gráfico de un operador con ese dominio sea cerrado no permite aplicar directamente el teorema.
Los operadores diferenciales cerrados no acotados con dominio propio son compatibles con esta limitación.