EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
Radio espectral de diag(1,4,−2).
- PISTA 1
Una pista
Máximo módulo de autovalores.
Un desarrollo posible.
Para una matriz diagonal finita, el espectro contiene sus entradas diagonales:1,4,−2.
El máximo es4 y, por definición, ese es el radio espectral.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Radio espectral de [[0,1],[0,0]].
- PISTA 1
Una pista
La matriz es nilpotente.
Un desarrollo posible.
La matriz N=[[0,1],[0,0]] cumple N²=0.
Su polinomio característico esλ², por lo que su único valor espectral es0.
El máximo módulo de ese conjunto es0; su radio espectral es0.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
Si T=3I en un Banach complejo no nulo, único valor espectral.
- PISTA 1
Una pista
T−λI es un múltiplo de I.
Un desarrollo posible.
Siλ≠3, la inversa es(3−λ)⁻¹I, definida y acotada.
Siλ=3, el operador es cero y no es invertible porque el espacio no es nulo.
El único valor espectral es3.
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
Prueba que |λ|>‖T‖ pertenece al resolvente.
- PISTA 1
Una pista
Usa la serie de Neumann para I−T/λ.
Un desarrollo posible.
La desigualdad|λ|>‖T‖ asegura‖T/λ‖<1.
La serieΣₙ≥₀(T/λ)ⁿ converge en norma y es inversa de I−T/λ.
Como T−λI=−λ(I−T/λ), su inversa es−λ⁻¹Σₙ≥₀(T/λ)ⁿ.
Por tantoλ pertenece al resolvente.
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Explica por qué el radio espectral puede ser menor que la norma.
- PISTA 1
Una pista
Usa una matriz nilpotente no nula.
Un desarrollo posible.
Tomamos N=[[0,1],[0,0]], que actúa como N(x,y)=(y,0).
Su norma euclídea es1:‖N(x,y)‖=|y|≤√(x²+y²), con igualdad en(0,1).
Como N²=0, el único autovalor es0 y r(N)=0.
Así r(N)=0<1=‖N‖, un ejemplo de desigualdad estricta.