Si fₙ=x³+x/n, calcula f′(1) para el límite.
El término x/n desaparece.
En un intervalo compacto se puede además justificar el intercambio con la cota uniforme 1/n de las derivadas.
Máximo de |x/4| en [0,2].
La expresión crece con x≥0.
La expresión crece con x, así que el máximo ocurre en el extremo dos.
Para fₙ(x)=x/n en [0,1], calcula lim fₙ′(x).
La derivada es constante.
La expresión no depende de x y su distancia a cero es 1/n en todo [0,1].
Tiende uniformemente a cero, por lo que el límite pedido es 0.
Prueba que fₙ=sin(nx)/n converge uniformemente a cero.
Acota el seno por uno.
Dada ε>0, tomar N>1/ε controla todos los n≥N y todos los x. La convergencia a cero es uniforme.
Explica por qué fₙ(x)=√(x²+1/n) puede perder diferenciabilidad en el límite.
Identifica la función límite.
Además 0≤√(x²+1/n)−|x|≤1/√n, así que los valores convergen uniformemente.
|x| tiene derivada lateral −1 por la izquierda de cero y +1 por la derecha; no es derivable allí.
Las derivadas x/√(x²+1/n) no convergen uniformemente en un intervalo que cruce cero. Por eso no se cumplen las condiciones que conservarían diferenciabilidad.