EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
Suma de Σₙ₌₁^∞1/2ⁿ.
- PISTA 1
Una pista
Es geométrica con primer término 1/2.
Un desarrollo posible.
La serie empieza en n=1, así que el primer término es 1/2.
La razón constante es 1/2 y su módulo es menor que uno.
La suma es (1/2)/(1−1/2)=1; empezar en cero habría producido una suma diferente.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Suma de Σₙ₌₀^∞(−1/2)ⁿ.
- PISTA 1
Una pista
La razón tiene módulo menor que 1.
Un desarrollo posible.
El índice inicial cero da primer término uno.
La razón es −1/2, con módulo 1/2<1.
La fórmula da 1/(1−(−1/2))=1/(3/2)=2/3.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
¿Converge Σ1/n²? Responde sí o no.
- PISTA 1
Una pista
Usa el criterio p.
Un desarrollo posible.
Es una p-serie con exponente p=2.
El criterio p exige p>1 y aquí se cumple.
La respuesta es sí. No hace falta conocer la suma exacta para decidir convergencia.
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
Prueba que Σ1/n diverge.
- PISTA 1
Una pista
Agrupa bloques entre potencias de dos.
Un desarrollo posible.
En el bloque n=2ᵏ+1,…,2ᵏ⁺¹ hay 2ᵏ términos.
Cada denominador es como máximo 2ᵏ⁺¹ y cada término es al menos 1/2ᵏ⁺¹, por lo que el bloque suma al menos 1/2.
Acumular arbitrariamente muchos bloques hace crecer las sumas parciales sin cota. La armónica diverge.
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Explica por qué el criterio del cociente no decide Σ1/n².
- PISTA 1
Una pista
Calcula aₙ₊₁/aₙ.
Un desarrollo posible.
Para aₙ=1/n², el cociente es aₙ₊₁/aₙ=n²/(n+1)².
Dividir por n² muestra que tiende a uno.
El criterio del cociente es inconcluso cuando el límite es uno. El criterio p, con p=2, decide que la serie sí converge.