Límite de n/(n+1).
Divide numerador y denominador por n.
El término 1/(n+1) tiende a cero porque su denominador crece sin límite.
Por la regla de resta, el límite es 1.
Límite de (2n+3)/(n+1).
Compara grados.
Dividimos numerador y denominador entre n positivo: (2+3/n)/(1+1/n).
3/n y 1/n tienden a cero; el denominador tiende a uno, no a cero.
Límite de la subsucesión a₂ₙ si aₙ→7.
Las subsucesiones conservan el límite.
Los índices 2n crecen estrictamente y tienden a infinito.
Una subsucesión de una sucesión convergente acaba entrando en cualquier cola de la original.
Por tanto a_(2n) converge al mismo límite 7.
Demuestra que toda sucesión convergente es de Cauchy.
Introduce el límite en una desigualdad triangular.
Ambos sumandos son menores que ε/2, por lo que la distancia es menor que ε. Esa es la condición de Cauchy.
Da una sucesión acotada no convergente.
Busca oscilación sin amplitud decreciente.
Elegimos aₙ=(−1)ⁿ, que está entre menos uno y uno.
Sus términos pares valen uno y los impares menos uno.
Las dos subsucesiones convergen a límites distintos; la sucesión es acotada pero no convergente.