Para f(x)=x³ en [0,1], ¿qué c>0 proporciona el valor medio?
Resuelve 3c²=1.
x³ es continua en[0,1] y derivable en el interior; la secante tiene pendiente(1−0)/(1−0)=1.
Solo 1/√3 pertenece a(0,1); ese es el punto proporcionado.
Si |f′|≤4 en [1,3], ¿qué cota obtenemos para |f(3)−f(1)|?
Multiplica la cota de la derivada por la longitud.
Bajo las hipótesis de derivabilidad y la cota dada, Lagrange permite escribir una diferencia como f′(c)(3−1).
Su magnitud es a lo sumo4×2.
La cota es 8; no se afirma que la diferencia tenga que ser exactamente8.
f(x)=x²−4x en [1,3]. ¿Qué c da Rolle?
Los valores extremos son iguales.
2 está en(1,3), por lo que satisface la conclusión requerida.
Prueba que f′>0 en un intervalo implica que f es estrictamente creciente.
Toma dos puntos a<b.
La derivabilidad implica la continuidad necesaria en ese segmento.
Ambos factores son positivos, de modo que f(b)>f(a). Como los puntos eran arbitrarios, f es estrictamente creciente.
¿Puede aplicarse Rolle a f(x)=|x| en [−1,1]?
Examina cada hipótesis.
|x| es continua en[−1,1] y tiene el mismo valor1 en ambos extremos.
Pero en 0 las derivadas laterales son−1 y1; falla la derivabilidad interior.
Rolle no puede aplicarse. De hecho, donde existe su derivada, nunca vale 0.