EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
f(x,y)=xy². Calcula fₓ(2,3).
- PISTA 1
Una pista
Mantén y fijo.
Un desarrollo posible.
Para derivar xy² respecto de x, y permanece fija.
fₓ=y².
En(2,3), esa expresión vale 3².
El resultado es 9; el valor2 de x no altera esta parcial concreta.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Para la misma f, calcula fᵧ(2,3).
- PISTA 1
Una pista
Deriva y².
Un desarrollo posible.
Ahora x se mantiene fija al derivar respecto de y.
En(2,3) obtenemos2×2×3=12.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
¿Cuál es la norma del gradiente de f=3x+4y?
- PISTA 1
Una pista
Es la longitud de (3,4).
Un desarrollo posible.
Las parciales de 3x+4 y son 3 y4.
La norma euclídea del gradiente(3,4) es√(3²+4²).
√25=5, independiente del punto.
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
Obtén el plano tangente a z=x²+y² en (1,1,2).
- PISTA 1
Una pista
Usa z−f(a)=∇f(a)·(x−a).
Un desarrollo posible.
El valor base es f(1,1)=2 y las parciales allí son 2 y2.
El plano tangente es z−2=2(x−1)+2(y−1).
Desarrollando obtenemos z=2x+2 y−2; pasa por(1,1,2).
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Prueba que una dirección tangente a un nivel regular es perpendicular al gradiente.
- PISTA 1
Una pista
Deriva f(γ(t)) constante.
Un desarrollo posible.
Si γ está en el nivel, f(γ(t)) es constante.
La cadena da 0=∇f(γ(t))·γ′(t), suponiendo diferenciabilidad.
En un punto regular el gradiente no es cero y puede servir como normal: el producto nulo expresa su perpendicularidad a la tangente.