Área del disco de radio 2.
Integra r entre 0 y 2 y θ en una vuelta.
En polares, el disco de radio2 tiene 0≤r≤2 y una vuelta de θ.
Para área integramos1 con el elemento r dr dθ: la integral radial es[r²/2]₀²=2.
Multiplicar por 2π da 4π.
Calcula ∫₀¹∫₀²xy dy dx.
Separa el producto en este rectángulo.
El dominio es un rectángulo y el integrando xy es continuo y separable.
El resultado es 1.
¿Qué factor de área introduce (u,v)↦(3u,2v)?
Usa el valor absoluto del determinante.
El diferencial del cambio es diag(3,2).
Su determinante es 6.
Para un área usamos su valor absoluto: el factor es 6.
Cambia el orden en ∫₀¹∫₀ˣf(x,y)dy dx.
Describe el triángulo usando y primero.
Para un corte horizontal, y va de 0 a 1 y, fijada y, x va de y a 1.
Bajo las condiciones de Fubini, por ejemplo f continua en el triángulo, la nueva integral es ∫₀¹∫ᵧ¹f(x, y) dx dy.
Calcula el volumen de la bola unidad en esféricas.
Usa ρ² sinφ y los límites completos.
Con φ medido desde el eje z, el elemento de volumen es ρ² sin φ dρ dφ dθ.
En la bola unidad las integrales son∫₀¹ρ²dρ=1/3, ∫₀^π sin φ dφ=2 y∫₀^(2π) dθ=2π.
El producto es 4π/3, el volumen de la bola.