EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
Calcula lim((x,y)→(1,2))(x²+y²).
- PISTA 1
Una pista
Es un polinomio.
Un desarrollo posible.
El polinomio x²+y² es continuo en todo el plano.
Podemos sustituir la entrada(1,2).
- 1²+2²=5; ese es el límite.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Para xy/(x²+y²), ¿cuál es el valor sobre y=−x fuera del origen?
- PISTA 1
Una pista
Sustituye la relación entre coordenadas.
Un desarrollo posible.
- Sobre y=−x y fuera del origen, x≠0.
- La fracción es−x²/(x²+x²)=−x²/(2x²).
Cancelando el factor no nulo queda−1/2.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
Calcula lim((x,y)→0)(x²+y²)/(1+x²+y²).
- PISTA 1
Una pista
El denominador tiende a uno.
Un desarrollo posible.
La función del denominador es continua y en el origen vale 1, distinto de cero.
El numerador x²+y² tiende a 0.
- La ley del cociente da límite0/1=0.
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
Prueba que x²y²/(x²+y²) tiende a cero en el origen.
- PISTA 1
Una pista
Acota el valor absoluto por una coordenada al cuadrado.
Un desarrollo posible.
- Fuera del origen, el denominador es positivo y0≤x²/(x²+y²)≤1.
Multiplicando por y², la fracción queda entre 0 e y², que a su vez no supera x²+y².
La cota tiende a cero independientemente del camino, así que el encaje demuestra el límite0.
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
¿Comprobar todas las rectas basta para demostrar un límite? Da un contraejemplo.
- PISTA 1
Una pista
Prueba x²y/(x⁴+y²) y el camino y=x².
Un desarrollo posible.
- Usa f=x² y/(x⁴+y²).
Para y=mx con m≠0 resulta mx/(x²+m²)→0; en los ejes también da 0.
- La curva y=x² produce1/2 para x≠0.
Todas las rectas dan el mismo límite, pero la curva no: revisar solo rectas no basta.