EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
Para F(x,y)=x²+y²−5, calcula y′ en (1,2).
- PISTA 1
Una pista
Usa −Fₓ/Fᵧ.
Un desarrollo posible.
El punto(1,2) satisface x²+y²−5=0 y Fᵧ(1,2)=4≠0.
La rama local tiene y′=−Fₓ/Fᵧ.
Sustituyendo las parciales2x y2 y, obtenemos−2/4=−1/2.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Para f(x)=e^x, ¿cuánto vale la derivada de la inversa en 1?
- PISTA 1
Una pista
El punto original es x=0.
Un desarrollo posible.
La entrada1 de la inversa corresponde a x=0 porque e⁰=1.
La derivada inversa en 1 es 1/f′(0)=1, como también da(ln x)′=1/x.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
F(x,y)=(2x,5y). Calcula det DF.
- PISTA 1
Una pista
El jacobiano es diagonal.
Un desarrollo posible.
DF es la matriz diagonal con entradas2 y5.
Su determinante es el producto diagonal.
2×5=10, distinto de cero.
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
¿Permite el teorema despejar y de x²+y²=1 en (1,0)?
- PISTA 1
Una pista
Comprueba la parcial elegida, no otra.
Un desarrollo posible.
Para despejar y se revisa Fᵧ=2 y, que vale 0 en(1,0).
El teorema no garantiza y como función C¹ de x por ese bloque.
En cambio Fₓ=2 allí sí permite despejar x como función de y.
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Explica por qué un jacobiano invertible en cada punto no garantiza una inversa global.
- PISTA 1
Una pista
Considera F(x,y)=(e^x cos y,e^x sin y).
Un desarrollo posible.
En la aplicación propuesta, el determinante es e^(2x)>0 para cualquier punto.
Pero sumar2π a y deja iguales seno y coseno: F(x, y+2π)=F(x, y).
Hay entradas distintas con la misma salida; no existe inversa global aunque sí inversas locales.