EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
a₀=1,aₙ₊₁=2aₙ. Calcula a₅.
- PISTA 1
Una pista
Es geométrica.
Un desarrollo posible.
- Con a₀=1, iterar aₙ₊₁=2aₙ da aₙ=2ⁿ.
- Para n=5, a₅=2⁵.
- Los pasos1,2,4,8,16,32 confirman a₅=32.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Coeficiente de z³ en 1/(1−z).
- PISTA 1
Una pista
Todos son iguales.
Un desarrollo posible.
- La identidad geométrica formal es 1/(1−z)=Σₙ≥₀zⁿ.
Cada potencia no negativa aparece con coeficiente uno.
- En particular, [z³]1/(1−z)=1.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
Coeficiente de z³ en 1/(1−z)².
- PISTA 1
Una pista
Los coeficientes son n+1.
Un desarrollo posible.
Escribimos 1/(1−z)² como producto de dos series geométricas.
El coeficiente de z³ suma las contribuciones de los grados(0,3),(1,2),(2,1),(3,0).
Cada contribución vale1; el coeficiente es4.
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
Deriva la generadora de aₙ=n.
- PISTA 1
Una pista
Deriva la serie geométrica y multiplica por z.
Un desarrollo posible.
- Partimos de Σₙ≥₀zⁿ=1/(1−z) como identidad formal.
- Derivamos término a término:Σₙ≥₁nzⁿ⁻¹=1/(1−z)².
- Multiplicamos por z y obtenemos Σₙ≥₀nzⁿ=z/(1−z)², incluyendo a₀=0.
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Resuelve aₙ=2aₙ₋₁+1 con a₀=0.
- PISTA 1
Una pista
Añade uno a cada término.
Un desarrollo posible.
- Definimos bₙ=aₙ+1.La regla da bₙ=2aₙ₋₁+2=2bₙ₋₁.
- El dato inicial es b₀=1, por lo que bₙ=2ⁿ.
- Volvemos a aₙ=bₙ−1=2ⁿ−1.
- Se comprueba a₀=0 y 2(2ⁿ⁻¹−1)+1=2ⁿ−1.