EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
Velocidad c si uₜₜ=9uₓₓ.
- PISTA 1
Una pista
Extrae raíz positiva.
Un desarrollo posible.
- La forma estándar es u_tt=c²u_xx con c>0.
- El coeficiente dado es nueve, así c²=9.
- La velocidad positiva es c=3.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Frecuencia angular del modo n=2 con c=3,L=π.
- PISTA 1
Una pista
Usa cnπ/L.
Un desarrollo posible.
- La frecuencia angular del modo es ω_n=cnπ/L.
- Sustituimos c=3,n=2,L=π.
- ω₂=3·2π/π=6.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
Longitud del intervalo de dependencia con c=2,t=3.
- PISTA 1
Una pista
Va de x−ct a x+ct.
Un desarrollo posible.
El dominio de dependencia espacial es [x−ct,x+ct].
- Su longitud es (x+ct)−(x−ct)=2ct.
- Con c=2,t=3, resulta 2·2·3=12.
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
Verifica que f(x−ct) resuelve ondas para f C².
- PISTA 1
Una pista
Deriva dos veces.
Un desarrollo posible.
- Si u=f(x−ct) y f es C², la cadena da u_xx=f″(x−ct).
- Al derivar dos veces en tiempo aparece u_tt=c²f″(x−ct).
- Por tanto u_tt=c²u_xx.
Esta onda viajera tiene velocidad inicial −cf′, que debe coincidir con el dato si se plantea un problema inicial.
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Justifica conservación de energía con extremos fijos y solución suave.
- PISTA 1
Una pista
Deriva e integra por partes.
Un desarrollo posible.
- Para una solución suave, E′=∫u_tu_tt+c²u_xu_xt.
Sustituimos u_tt=c²u_xx e integramos el primer término por partes, obteniendo c²[u_tu_x] menos una integral que cancela la segunda.
Con extremos fijos, u es constante cero en el borde para todo tiempo y u_t=0 allí.
El flujo de borde se anula y E′=0.