EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
Tasa de decaimiento del modo n=3 con κ=2,L=π.
Un desarrollo posible.
La tasa del modo n es κ(nπ/L)².
Con κ=2,n=3,L=π, el factor nπ/L es tres.
La tasa positiva es 2·3²=18 y la amplitud decae como e^(−18t).
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Para u=e^(−t)sin x, valor en x=π/2,t=0.
- PISTA 1
Una pista
Sustituye.
Un desarrollo posible.
Sustituimos t=0 y x=π/2 en e^(−t)sen x.
El factor temporal es uno y sen(π/2)=1.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
Si u es constante espacial, valor de uₓₓ.
- PISTA 1
Una pista
Deriva dos veces respecto a x.
Un desarrollo posible.
Una función espacialmente constante no varía al cambiar x.
Su primera derivada respecto a x es cero.
La segunda también es cero, aunque la constante pudiera depender del tiempo.
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
Comprueba que la energía ∫u² disminuye con extremos cero.
- PISTA 1
Una pista
Deriva e integra por partes.
Un desarrollo posible.
Para una solución suave con extremos cero, derivamos E=∫₀ᴸu² y usamos u_t=κu_xx: E′=2κ∫u u_xx.
La integración por partes da 2κ[u u_x]₀ᴸ−2κ∫u_x².
El borde se anula porque u=0 allí.
Queda E′=−2κ∫u_x²≤0 al ser κ>0.
La conclusión se refiere a la integral, no a cada valor puntual.
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Explica por qué modos con n grande decaen más rápido.
- PISTA 1
Una pista
Compara exponentes.
Un desarrollo posible.
Las tasas son a_n=κ(nπ/L)² y crecen cuadráticamente con n.
Para t>0, si a_m>a_n entonces e^(−a_mt)<e^(−a_nt).
Por ello, a igual amplitud inicial, los modos de índice mayor quedan amortiguados más rápidamente.