Para u=x²+y², la segunda derivada respecto a x es dos.
La segunda respecto a y también es dos.
Δu=2+2=4.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Laplaciano de x²+y²+z² en R³.
PISTA 1
Una pista
Hay tres términos.
Un desarrollo posible.
En R³ el laplaciano suma tres derivadas puras de segundo orden.
Cada término x²,y²,z² aporta dos en su propia variable.
Δu=2+2+2=6.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
Máximo de u=x(1−x) en [0,1].
PISTA 1
Una pista
El vértice está en x=1/2.
Un desarrollo posible.
u=x−x² tiene derivada u′=1−2x, que se anula en x=1/2.
La segunda derivada −2 es negativa y los extremos valen cero.
u(1/2)=(1/2)(1/2)=1/4 es el máximo en [0,1].
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
Prueba unicidad del problema de Dirichlet para Laplace en un dominio acotado Ω, entre soluciones C²(Ω)∩C(clΩ) con los mismos valores continuos de frontera.
PISTA 1
Una pista
Resta dos soluciones.
Un desarrollo posible.
Si u₁,u₂ cumplen las hipótesis y comparten borde, w=u₁−u₂ es C² en Ω, continua en clΩ, armónica y de frontera cero.
Como Ω es acotado, el principio del máximo da w≤0.
Aplicado a −w da w≥0.
Por tanto w=0 y las soluciones coinciden; se usan expresamente las hipótesis del enunciado.