EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
λ₃ con L=π.
- PISTA 1
Una pista
Usa n².
Un desarrollo posible.
- Para la familia Dirichlet, λ_n=(nπ/L)².
- Con L=π y n=3, λ₃=(3π/π)².
El valor es nueve.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Para calor con κ=1 y λ=4, tasa exponencial positiva de decaimiento.
- PISTA 1
Una pista
T′=−λT.
Un desarrollo posible.
- La ecuación temporal del calor es T′=−κλT.
- Con κ=1,λ=4, la solución es Ce^(−4t).
La tasa positiva de decaimiento es cuatro; el exponente lleva signo menos.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
Número del modo sin(5x) en (0,π).
- PISTA 1
Una pista
Compara con sin(nx).
Un desarrollo posible.
En el intervalo (0,π), los modos de senos son X_n=sen(nx).
La función dada es sen(5x).
- Corresponde a n=5.
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
Deriva la ecuación espacial del método para ondas.
- PISTA 1
Una pista
Sustituye XT en uₜₜ=c²uₓₓ.
Un desarrollo posible.
- Sustituimos u=XT en u_tt=c²u_xx y obtenemos XT″=c²X″T.
En regiones con factores no nulos, T″/(c²T)=X″/X=−λ; las ecuaciones sin cocientes prolongan la relación a sus ceros.
- La ecuación espacial es X″+λX=0 y la temporal T″+c²λT=0.
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Explica por qué no todos los valores de λ dan modos Dirichlet no nulos.
- PISTA 1
Una pista
Aplica ambos extremos a la solución de la EDO.
Un desarrollo posible.
- Si λ>0, X=Acos(√λx)+Bsen(√λx).La condición X(0)=0 obliga A=0.
Para B≠0, X(L)=0 exige sen(√λL)=0 y por tanto λ=(nπ/L)² con n≥1.
Si λ=0 o λ<0, las familias afines o hiperbólicas y los dos extremos solo permiten cero. Así no cualquier λ da un modo Dirichlet no nulo.