Si L=0, ¿cuál es el factor e^(Lt) de amplificación?
El exponente es cero.
El factor de amplificación es e^(Lt).
Con L=0, el exponente es cero para todo tiempo.
Para y′=2y, dos soluciones tienen una diferencia de magnitud 0,1 en t=0. Halla la cota exacta de esa diferencia en t=1.
La diferencia cumple la misma ecuación.
Sea δ(t) la diferencia de las dos soluciones. Al restar sus ecuaciones se obtiene δ′=2δ y el dato declara |δ(0)|=0,1.
La ecuación de la diferencia da δ(t)=δ(0)e^(2t), de modo que para t≥0 su magnitud es 0,1e^(2t). La letra δ representa la diferencia; e es la constante exponencial.
En este problema la cota de Gronwall se alcanza exactamente, y un decimal finito solo la aproxima.
Tiempo de explosión de y′=y², y(0)=2.
La solución es 2/(1−2t).
Al aproximarse desde abajo diverge y no admite prolongación real finita allí. El tiempo de explosión hacia el futuro es 1/2.
Explica por qué continuidad de fᵧ da Lipschitz local en y.
Usa valor medio en un rectángulo compacto.
Elegimos un rectángulo compacto en el entorno donde f_y sea continua.
El valor absoluto de esa parcial alcanza alguna cota M finita.
Para t fijo y u,v en su intervalo espacial, el valor medio da |f(t,u)−f(t,v)|≤M|u−v|. La misma M sirve para todo t del rectángulo.
¿Existencia y unicidad local implican solución global?
Usa y′=y².
No: el campo f(y)=y² es suave y por tanto da existencia y unicidad locales.
La regularidad local no excluye crecimiento ilimitado en tiempo finito.