EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
Derivada F′(1) para F(y)=y−y².
- PISTA 1
Una pista
Deriva primero.
Un desarrollo posible.
- Derivamos F(y)=y−y² y obtenemos F′(y)=1−2y.
- Evaluamos en y=1.
- F′(1)=1−2=−1.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Número de equilibrios de x′=x−x³.
- PISTA 1
Una pista
Factoriza.
Un desarrollo posible.
- Los equilibrios anulan F(x)=x−x³.
- Factorizamos x(1−x²)=x(1−x)(1+x).
Los ceros distintos son −1,0,1: hay tres equilibrios.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
Para x′=−x³, valor de V′ en x=2 si V=x²/2.
- PISTA 1
Una pista
V′=−x⁴.
Un desarrollo posible.
- La derivada a lo largo del sistema es V̇=x·(−x³)=−x⁴.
- Evaluamos en x=2.
El valor es −2⁴=−16; los paréntesis indican que el exponente actúa antes del signo exterior.
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
Compara estabilidad de x′=x³ y x′=−x³ en cero.
- PISTA 1
Una pista
Observa el signo del campo.
Un desarrollo posible.
Para x′=x³, los datos positivos crecen y los negativos decrecen; perturbaciones arbitrariamente pequeñas se alejan del origen, que es inestable.
Para x′=−x³, el campo apunta hacia cero por ambos lados y V=x²/2 tiene V̇=−x⁴<0 fuera de cero.
Este segundo origen es asintóticamente estable. Ambos tienen jacobiano cero, así la distinción procede de términos superiores.
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
¿Un autovalor cero prueba inestabilidad?
- PISTA 1
Una pista
Busca dos ejemplos con igual linealización.
Un desarrollo posible.
Un autovalor cero no cumple el criterio hiperbólico y no decide por sí solo.
Los campos x′=−x³ y x′=x³ tienen derivada cero en el origen.
El primero es asintóticamente estable y el segundo inestable. Son contraejemplos a cualquier conclusión automática basada solo en ese autovalor.