Sobre los enteros, ¿es verdadera ∃x: 2x=1?
Piensa en la paridad.
El dominio exigido son los enteros, no los reales.
Si x fuera entero, 2x sería par, mientras que uno es impar.
Por tanto no hay testigo entero y la existencia es falsa.
¿Qué valor de x refuta «todo natural n satisface n²>n»? Da uno positivo.
Comprueba el primer natural positivo.
Para refutar el universal basta un natural positivo que no cumpla n²>n.
El valor solicitado es 1.
En los reales, ¿qué y sirve si x=7 y exigimos x+y=0?
Despeja y.
El testigo es real y 7+(−7)=0, así que satisface exactamente la igualdad.
Niega ∃M∈R ∀n∈N: n≤M.
Invierte los dos cuantificadores.
La negación de ∃M se convierte en ∀M, manteniendo M real.
La negación de ∀n se convierte en ∃n, manteniendo n natural.
Resulta ∀M∈R ∃n∈N: n>M, que expresa ausencia de cota superior real para los naturales.
Compara ∀x∈R∃y∈R:x+y=0 y ∃y∈R∀x∈R:x+y=0.
En la segunda, prueba x=0 y x=1.
En ∀x∃y, y puede elegirse después de conocer x; y=−x demuestra la primera afirmación.
En ∃y∀x, un único y tendría que funcionar para todos los reales.
Son exigencias incompatibles, así que la segunda es falsa.