EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
Radio de x²+y²=25.
- PISTA 1
Una pista
El lado derecho es radio al cuadrado.
Un desarrollo posible.
La ecuación de una circunferencia centrada en el origen es x²+y²=R².
Aquí R²=25 y el radio debe ser no negativo.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Semieje mayor de x²/16+y²/9=1.
- PISTA 1
Una pista
Extrae raíces de denominadores.
Un desarrollo posible.
Comparamos con x²/a²+y²/b²=1.
Los semiejes son √16=4 y √9=3.
El mayor es cuatro y está en la dirección horizontal.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
Número de puntos reales de x²+y²=0.
- PISTA 1
Una pista
Ambos sumandos son no negativos.
Un desarrollo posible.
Para números reales x²≥0 e y²≥0.
Si su suma es cero, ambos cuadrados deben ser cero.
Esto obliga x=0,y=0; el conjunto tiene un único punto y es una cónica degenerada.
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
Clasifica z=x²+y².
- PISTA 1
Una pista
Fija niveles z=c.
Un desarrollo posible.
En el nivel z=c se exige x²+y²=c.
Si c>0, la sección es una circunferencia de radio √c; para c=0 es el origen y para c<0 no hay puntos.
Las secciones verticales son parábolas y la superficie completa es un paraboloide elíptico con vértice en el origen.
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Explica por qué xy=1 es una hipérbola tras una rotación.
- PISTA 1
Una pista
Usa u=(x+y)/√2 y v=(x−y)/√2.
Un desarrollo posible.
Usamos u=(x+y)/√2,v=(x−y)/√2, un cambio ortogonal de coordenadas; si se desea orientación positiva puede cambiarse el signo de v.
La inversa da x=(u+v)/√2,y=(u−v)/√2 y por tanto xy=(u²−v²)/2.
La ecuación se convierte en u²−v²=2, o u²/2−v²/2=1, forma canónica de una hipérbola.