EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
Curvatura de un círculo de radio 5.
Un desarrollo posible.
Para un círculo de radio R>0 la curvatura geométrica es 1/R.
Sustituimos el radio dado R=5.
La curvatura es 1/5, constante y con unidades de longitud inversa.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Longitud de γ(t)=(3t,4t), 0≤t≤2.
- PISTA 1
Una pista
La rapidez es constante.
Un desarrollo posible.
La derivada de γ(t)=(3t,4t) es (3,4).
La rapidez constante es √(3²+4²)=5.
La longitud en 0≤t≤2 es ∫₀²5dt=5·2=10.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
Curvatura de una recta regular.
- PISTA 1
Una pista
Su tangente unitaria no cambia.
Un desarrollo posible.
Una recta regular puede parametrizarse como P+tv con v≠0.
Su tangente unitaria es el vector constante v/‖v‖.
La derivada de T respecto a longitud de arco es cero y κ=0.
No se usa la fórmula de torsión en ese caso.
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
Calcula la torsión de la hélice (cos t,sin t,t).
- PISTA 1
Una pista
Usa el determinante y el producto vectorial anterior.
Un desarrollo posible.
Para la hélice dada, γ′×γ″=(sen t,−cos t,1) y su norma al cuadrado es dos.
La tercera derivada es γ‴=(sen t,−cos t,0).
El producto triple es sen²t+cos²t=1.
La fórmula con la orientación usual da τ=1/2.
El denominador es no nulo, así está definida en toda la hélice.
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Explica por qué una curva plana regular con curvatura no nula tiene torsión cero.
- PISTA 1
Una pista
Los tres vectores derivados quedan en un plano fijo.
Un desarrollo posible.
Una curva contenida en un plano fijo tiene γ′,γ″,γ‴ en el mismo espacio vectorial de dimensión dos.
Su producto triple es cero por dependencia lineal.
Si la curvatura no se anula y la curva es regular C³, ‖γ′×γ″‖²>0.
La fórmula da torsión cero donde se cumplen esas condiciones.