Curvatura gaussiana de una esfera de radio 2.
Usa 1/R².
Para una esfera de radio positivo R se tiene K=1/R².
La curvatura gaussiana es 1/4.
Longitud del arco de ángulo π/3 en esfera unidad sobre círculo máximo.
Longitud igual radio por ángulo.
El arco está sobre un círculo máximo de la esfera unidad, así su radio es uno.
La longitud de un arco circular es radio por ángulo en radianes.
Este arco corto también minimiza entre sus extremos.
Curvatura gaussiana de un plano.
Ambas curvaturas principales son cero.
Prueba que las rectas son geodésicas del plano.
Su aceleración es cero en parametrización afín.
Una recta del plano con parámetro afín es γ(t)=P+tV, donde V es constante.
Su aceleración γ″ es cero y, por tanto, su componente tangencial también es cero.
Equivalentemente, en coordenadas euclídeas Γ=0 y las ecuaciones ẍ=ÿ=0 se cumplen. Es una geodésica.
Explica por qué un círculo máximo es geodésica de la esfera.
Compara su aceleración con la normal esférica.
En una esfera centrada en cero, un círculo máximo uniforme puede escribirse γ(t)=R(a cosωt+b senωt), con a,b unitarios ortogonales.
El vector radial es normal a la esfera. La aceleración tangencial es cero y la curva satisface la condición geodésica con rapidez constante.