EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
Factor de área de X(u,v)=(2u,3v,0).
- PISTA 1
Una pista
Usa √(EG−F²).
Un desarrollo posible.
X_u=(2,0,0) y X_v=(0,3,0).
Sus productos escalares dan E=4,F=0,G=9.
El elemento de área multiplica por √(EG−F²).
El factor es √(4·9)=6; también el producto vectorial tiene norma seis.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Para un plano, valor de curvatura gaussiana.
- PISTA 1
Una pista
La segunda forma es cero.
Un desarrollo posible.
Un plano admite una parametrización afín con derivadas segundas nulas.
La segunda forma y el operador S=−dn son cero, puesto que la normal es constante.
Las curvaturas principales son cero y K=0·0=0.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
En X=(u,v,u²+v²), valor de e en cero con normal arriba.
- PISTA 1
Una pista
Xᵤᵤ=(0,0,2).
Un desarrollo posible.
Para X=(u,v,u²+v²), X_uu=(0,0,2).
La normal unitaria hacia arriba en el origen es n=(0,0,1).
e=X_uu·n=2.
Cambiar la normal invertiría este signo.
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
Prueba EG−F²>0 para una parametrización regular.
- PISTA 1
Una pista
Usa la identidad del producto vectorial.
Un desarrollo posible.
E=‖X_u‖²,F=X_u·X_v,G=‖X_v‖².
La identidad de Lagrange da EG−F²=‖X_u×X_v‖².
La regularidad exige X_u×X_v≠0, así el cuadrado de su norma es estrictamente positivo.
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Calcula las curvaturas principales del gráfico z=x²+y² en el origen con normal arriba y operador −dn.
- PISTA 1
Una pista
La primera forma es identidad y la segunda es 2I.
Un desarrollo posible.
En el origen, I_m es la identidad y con normal arriba se tiene X_uu=(0,0,2),X_uv=0,X_vv=(0,0,2).
Por tanto II_m=2I.
Con la convención S=−dn, su matriz es I_m⁻¹II_m=2I.
Sus dos autovalores son k₁=k₂=2 y K=4.
La convención está fijada en la pregunta y se conserva.