limₙ∫₀¹xⁿdx.
Usa dominada o cálculo exacto.
Convergen a cero salvo en el extremo uno, un conjunto nulo; el dominador uno tiene integral finita.
Dominada da límite de integrales cero, lo que también confirma 1/(n+1)→0.
∫₀²limₙ min(n,x) dx.
Para x fijo, eventualmente min(n,x)=x.
Para x∈[0,2], min(n,x) aumenta con n y desde n≥2 coincide con x.
La función límite es x en todo el intervalo.
También puede justificarse el intercambio por monótona.
Si |fₙ|≤g y ∫g=4, ¿qué cota hay para |∫fₙ|?
Aplica desigualdad integral.
La dominación |fₙ|≤g permite acotar esta última por ∫g.
Comprueba Fatou para fₙ=n·1_(0,1/n).
Compara la integral del límite con el límite de integrales.
Para cada punto fijo positivo, n·1_(0,1/n) termina valiendo cero; en cero también se define cero.
El límite y el límite inferior puntuales son cero, cuya integral vale cero.
Fatou afirma 0≤1, una desigualdad verdadera y estricta en este ejemplo.
Justifica ∫Σaₙ=Σ∫aₙ para aₙ medibles no negativas.
Aplica monótona a las sumas parciales.
Si aₙ son medibles no negativas, sus sumas parciales S_N son medibles y crecen.
Convergencia monótona permite pasar al límite: ∫Σaₙ=Σ∫aₙ, incluso si el valor es infinito.