EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
Integra 3·1_[0,2] en R.
- PISTA 1
Una pista
Valor por longitud.
Un desarrollo posible.
La función tiene altura tres en [0,2] y cero fuera.
La longitud del intervalo es dos.
- La integral simple es 3·2=6.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Si μ(A)=1/4, calcula ∫1_A.
- PISTA 1
Una pista
Es la propiedad de indicatrices.
Un desarrollo posible.
La integral de una indicatriz medible se define como la medida del conjunto.
Aquí el conjunto A tiene medida 1/4.
- Por tanto ∫1_A dμ=μ(A)=1/4.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
Integra x en [0,1] respecto a Lebesgue.
- PISTA 1
Una pista
Aquí coincide con la integral usual.
Un desarrollo posible.
La función x es continua y acotada en [0,1], así que las integrales usual y de Lebesgue coinciden.
Una primitiva es x²/2.
Evaluar en uno y cero da 1/2.
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
Prueba que la indicatriz de A es medible si A es medible.
- PISTA 1
Una pista
Examina {1_A>a} según a.
Un desarrollo posible.
Si a<0, todos los valores cero y uno superan a, así que {1_A>a}=X.
Si 0≤a<1, solo los puntos de A lo superan, por lo que el conjunto es A.
- Si a≥1, el supernivel es vacío.
Los tres conjuntos son medibles y se cumple la definición.
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
¿Es integrable 1/x en (0,1) respecto a longitud?
- PISTA 1
Una pista
La función es positiva y su integral impropia diverge.
Un desarrollo posible.
1/x es positiva y medible en (0,1).
Para ε>0, ∫_ε^1(1/x)dx=−log ε.Cuando ε tiende a cero por la derecha, −log ε crece sin límite.
Su integral no negativa es infinito. No es integrable en sentido finito; no hay contradicción entre ambas afirmaciones.