Área producto de intervalos [0,3] y [0,4].
Multiplica medidas.
En un rectángulo medible la medida producto es el producto de las medidas de sus lados.
Los intervalos tienen longitudes tres y cuatro.
∫₀¹∫₀¹(x+y)dxdy.
Integra cada sumando.
El integrando x+y es continuo y no negativo en el cuadrado unitario.
Por linealidad separamos las contribuciones de x y de y; cada una integra a 1/2 después de la otra variable.
∫₀^∞∫₀^∞e^(−x−y)dxdy.
Separa el producto positivo.
Tonelli permite separar las integrales aun antes de conocer su finitud.
Cada integral de cero a infinito vale uno, así que el producto es 1.
Enuncia qué hay que comprobar antes de usar Fubini para una función con signo.
La condición decisiva es absoluta.
Se declaran los espacios de medida y las hipótesis de producto utilizadas, aquí sigma-finitud.
Se comprueba que f es medible y que ∫|f|d(μ×ν)<∞, por ejemplo usando Tonelli para el módulo.
Entonces Fubini da secciones integrables casi en todas partes y ambos órdenes coinciden con una integral finita.
Justifica intercambiar suma e integral de funciones positivas.
Usa conteo como una de las medidas.
La medida de conteo en N convierte la suma en una integral sobre el índice.
Si cada término es medible no negativo, la función conjunta sobre X×N también lo es.
Tonelli permite intercambiar ambas integraciones, es decir, suma e integral, incluso si el valor final es infinito.