Número de elementos de la sigma-álgebra potencia de un conjunto de tres puntos.
Cada subconjunto es medible.
La familia potencia admite cualquier subconjunto.
Cada uno de los tres puntos puede incluirse o excluirse independientemente.
Número de átomos de {∅,{1},{2,3},X}.
Busca los conjuntos medibles no vacíos mínimos.
Un átomo es medible, no vacío y no tiene parte medible no vacía propia.
{1} y {2,3} cumplen eso; {2} y {3} no están en la familia.
Por tanto hay 2 átomos; X no es átomo porque contiene esos bloques propios.
Sobre un conjunto finito, la sigma-álgebra generada por una partición de cuatro bloques no vacíos tiene ¿cuántos conjuntos?
Cada conjunto es unión de átomos.
Cada conjunto generado es unión de algunos de los cuatro bloques.
Cada bloque ofrece dos elecciones independientes.
Los bloques disjuntos no vacíos producen uniones diferentes: 2⁴=16 conjuntos.
Prueba que la intersección de sigma-álgebras sobre X es sigma-álgebra.
Comprueba cada axioma en todas las familias.
X pertenece a todas las sigma-álgebras y a su intersección.
Si A pertenece a todas, su complemento también pertenece a todas.
Una unión numerable de miembros comunes queda en cada familia y en la intersección. Se verifican los tres axiomas.
¿La unión de dos sigma-álgebras siempre es sigma-álgebra?
En tres puntos considera las generadas por {1} y por {2}.
La unión de familias contiene {1} y {2}.
No contiene {1,2}, su unión como conjuntos. Falla el cierre finito, por lo que no siempre es sigma-álgebra.