EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
Resto de 7² entre 5.
- PISTA 1
Una pista
Reduce antes de elevar.
Un desarrollo posible.
Se puede reducir la base porque las congruencias conservan productos: 7≡2 módulo cinco.
Al elevar al cuadrado, 7²≡2²=4 módulo cinco.
Cuatro ya está entre cero y cuatro y es el resto pedido.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Inverso de 4 módulo 9, entre 0 y 8.
- PISTA 1
Una pista
Busca un producto de resto uno.
Un desarrollo posible.
mcd(4,9)=1, así existe un inverso.
Euclides da 9=2·4+1 y por ello 1=9−2·4; el inverso es −2 módulo nueve.
Su representante canónico es −2+9=7 y 4·7=28=3·9+1.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
Número de soluciones módulo 8 de 2x≡2.
- PISTA 1
Una pista
El mcd es dos y divide al segundo miembro.
Un desarrollo posible.
En 2x≡2 módulo ocho el mcd es dos y divide al segundo miembro.
Dividir coeficiente, segundo miembro y módulo da x≡1 módulo cuatro.
Esta clase levanta a x≡1 o5 módulo ocho, dos soluciones distintas, como predice el mcd.
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
Prueba que una congruencia es una equivalencia.
- PISTA 1
Una pista
Usa que los múltiplos de m son cerrados por opuesto y suma.
Un desarrollo posible.
Reflexividad: a−a=0 es múltiplo de m y por tanto a≡a.
Simetría: si a−b=km, entonces b−a=(−k)m, así b≡a.
Transitividad: si a−b=km y b−c=lm, entonces a−c=(k+l)m, así a≡c.
Se cumplen las tres propiedades.
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Resuelve 4x≡3 mod 6.
- PISTA 1
Una pista
Comprueba divisibilidad por el mcd.
Un desarrollo posible.
En 4x≡3 módulo seis, calculamos mcd(4,6)=2.
Dos no divide tres, así falla la condición necesaria y suficiente de existencia.
Equivalentemente, 4x−6k siempre es par y no puede igualar tres. No hay soluciones.