EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
φ(9).
- PISTA 1
Una pista
Usa la potencia de un primo.
Un desarrollo posible.
Nueve es 3², potencia del primo tres.
Las clases no invertibles son los múltiplos de tres: 0,3,6, tres clases.
- φ(9)=9−3=6.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Resto de 2¹⁰ entre 11.
- PISTA 1
Una pista
Aplica Fermat.
Un desarrollo posible.
- Once es primo y mcd(2,11)=1.
Fermat da 2^(11−1)≡1 módulo once.
El exponente pedido es diez, así el resto es uno; 1024=93·11+1 lo verifica.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
Resto de 5⁴ entre 8.
- PISTA 1
Una pista
5 es unidad y φ(8)=4.
Un desarrollo posible.
- mcd(5,8)=1, así se cumple la hipótesis de Euler.
- φ(8)=8−4=4, pues ocho es 2³.
Euler da 5⁴≡1 módulo ocho.
También 5²=25≡1 y al cuadrar se confirma.
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
Deduce el inverso de a módulo p usando Fermat.
- PISTA 1
Una pista
Separa un factor a de a^(p−1).
Un desarrollo posible.
Suponemos p primo y p no divisor de a, condición necesaria para invertirlo.
Fermat establece a^(p−1)≡1 módulo p.
Separamos un factor: a·a^(p−2)≡1. Por definición, a^(p−2) es el inverso modular.
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Explica por qué Euler no se puede aplicar directamente a 2¹⁰ mod 8.
- PISTA 1
Una pista
Comprueba la coprimalidad.
Un desarrollo posible.
mcd(2,8)=2 y por tanto dos no es una unidad módulo ocho.
Euler requiere mcd uno; no está permitido reducir diez módulo φ(8)=4 usando ese teorema.
Aquí 2³=8≡0 y toda potencia posterior también es cero. En particular 2¹⁰≡0, mientras reducir diez a dos habría dado cuatro, incorrectamente.