Número de puntos de una base densa mínima en un espacio discreto finito de cinco puntos.
Cada singleton debe ser alcanzado.
En la topología discreta cada singleton {x} es abierto.
Un denso D debe intersectarlo para cada punto x, lo que obliga x∈D.
D debe contener los cinco puntos; el tamaño mínimo de un denso es cinco.
¿Todo métrico es Hausdorff? Responde sí o no.
Usa bolas de radio un tercio de la distancia.
Dados dos puntos distintos, su distancia δ es positiva.
Las bolas de radio δ/3 son disjuntas por la desigualdad triangular.
Por tanto todo métrico es Hausdorff; la respuesta es sí.
¿Q es denso en R usual? Responde sí o no.
Todo intervalo abierto contiene un racional.
Basta probar que cualquier intervalo abierto (a,b) con a<b contiene un racional.
Elegimos un entero n con n(b−a)>1 y un entero k estrictamente entre na y nb; entonces a<k/n<b.
Todo abierto real no vacío contiene un intervalo de ese tipo, así toca Q. La respuesta es sí.
Prueba que en Hausdorff un límite de sucesión es único.
Supón dos límites y sepáralos por entornos disjuntos.
Supongamos que x_n converge a puntos distintos x e y en un espacio Hausdorff.
Existen entornos abiertos disjuntos U de x y V de y; la convergencia obliga a estar en U desde un índice y en V desde otro.
Después del mayor índice los términos estarían en la intersección vacía. La contradicción demuestra unicidad.
¿El espacio indiscreto con dos puntos es T₁?
Estudia si los singletons son cerrados.
En un indiscreto de dos puntos a,b, los únicos abiertos son ∅ y {a,b}.
El complemento del singleton {a} es {b}, que no es abierto. Por tanto {a} no es cerrado y falla T₁.
Además no es Hausdorff ni metrizable, ya que toda topología métrica sí es Hausdorff.