Si f es holomorfa en un entorno de {|z|≤2} y |f|≤6 en |z|=2, ¿qué cota da Cauchy para |f′(0)|?
M/R.
Se cumplen las hipótesis en el disco cerrado de radio R=2.
La estimación de primera derivada usa M/R.
Con f holomorfa en un entorno del disco |z|≤2 y |f|≤6 en su frontera, calcula la cota de Cauchy para |f″(0)|.
Usa 2!M/R².
La derivada pedida tiene orden dos y requiere el factorial 2!=2.
La estimación es 2!M/R².
Parte imaginaria de ∮|z|=1 1/z dz.
Cauchy con f=1.
Su parte imaginaria es 2π.
Demuestra Liouville mediante las estimaciones de Cauchy.
Acota f′ en círculos de radio arbitrario.
Si f es entera y globalmente acotada por M, cualquier radio positivo R es admisible alrededor de un punto a.
Como vale para todo R, al hacer R→∞ queda f′(a)=0.
Esto ocurre en todo a y el plano es conectado; por tanto f es constante.
Calcula ∮|z|=2 z³/(z−1)²dz.
Aplica la fórmula para la primera derivada.
El numerador f(z)=z³ es entero y a=1 queda dentro del círculo de radio dos.
La potencia dos del denominador corresponde a f′(1)=3·1²=3 y divisor 1!=1.