EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
Para f(z)=z³, calcula f′(1).
- PISTA 1
Una pista
Deriva el polinomio.
Un desarrollo posible.
- La regla de potencias complejas da f′(z)=3z² para el polinomio z³.
- Sustituimos z=1.
- f′(1)=3·1²=3.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Para e^z, calcula f′(0).
- PISTA 1
Una pista
La exponencial es su propia derivada.
Un desarrollo posible.
La exponencial compleja es entera y su derivada es e^z.
- En z=0 se tiene e⁰=1.
- Por tanto f′(0)=1.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
Parte real de la derivada de z² en z=1+2i.
- PISTA 1
Una pista
La derivada es 2z.
Un desarrollo posible.
- Para f(z)=z², la derivada es 2z.
- En z=1+2i obtenemos 2+4i.
La parte real solicitada es 2.
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
Verifica Cauchy–Riemann para e^z.
- PISTA 1
Una pista
Escribe e^x(cos y+i sin y).
Un desarrollo posible.
Escribimos e^z=e^x cos y+i e^x sin y, así u=e^x cos y y v=e^x sin y.
- u_x=e^x cos y=v_y y u_y=−e^x sin y=−v_x.
Las cuatro parciales son continuas en R². Cauchy–Riemann y regularidad prueban holomorfía en todo C.
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
¿|z|² es holomorfa en algún abierto?
- PISTA 1
Una pista
Es u=x²+y², v=0.
Un desarrollo posible.
- Para |z|², u=x²+y² y v=0.Cauchy–Riemann exige 2x=0 y 2y=0.
Solo en el origen puede existir derivada compleja; allí |h|²/h tiende a cero y la derivada sí existe.
Ningún abierto no vacío queda reducido al origen. Por eso la función no es holomorfa en ningún abierto, aunque tenga esa derivada puntual.